递归算法满足的三个条件

递归算法是常见的一种算法,那究竟什么样的问题可以用递归来解决呢?我总结了三个条件,只要同时满足以下三个条件,就可以用递归来解决。

1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解,何为子问题?

子问题就是数据规模更小的问题。比如,前面讲的电影院的例子,你要知道,“自己在哪一排”的问题,可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。

2. 这个问题与分解之后的子问题,除了数据规模不同,求解思路完全一样

比如电影院那个例子,你求解“自己在哪一排”的思路,和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路,是一模一样的。

3. 存在递归终止条件

把问题分解为子问题,把子问题再分解为子子问题,一层一层分解下去,不能存在无限循环,这就需要有终止条件。

  • 如何编写递归代码?

刚刚铺垫了这么多,现在我们来看,如何来写递归代码?我个人觉得,写递归代码最关键的是写出递推公式,找到终止条件,剩下将递推公式转化为代码就很简单了。

你先记住这个理论。我举一个例子,带你一步一步实现一个递归代码,帮你理解。

假如这里有 n 个台阶,每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶,请问走这 n 个台阶有多少种走法?如果有 7 个台阶,你可以 2,2,2,1 这样子上去,也可以 1,2,1,1,2 这样子上去,总之走法有很多,那如何用编程求得总共有多少种走法呢?

我们仔细想下,实际上,可以根据第一步的走法把所有走法分为两类,第一类是第一步走了 1 个台阶,另一类是第一步走了 2 个台阶。所以 n 个台阶的走法就等于先走 1 阶后,n-1 个台阶的走法 加上先走 2 阶后,n-2 个台阶的走法。用公式表示就是:

f(n) = f(n-1)+f(n-2)

有了递推公式,递归代码基本上就完成了一半。我们再来看下终止条件。当有一个台阶时,我们不需要再继续递归,就只有一种走法。所以 f(1)=1。这个递归终止条件足够吗?我们可以用 n=2,n=3 这样比较小的数试验一下。

n=2 时,f(2)=f(1)+f(0)。如果递归终止条件只有一个 f(1)=1,那 f(2) 就无法求解了。所以除了 f(1)=1 这一个递归终止条件外,还要有 f(0)=1,表示走 0 个台阶有一种走法,不过这样子看起来就不符合正常的逻辑思维了。所以,我们可以把 f(2)=2 作为一种终止条件,表示走 2 个台阶,有两种走法,一步走完或者分两步来走。

所以,递归终止条件就是 f(1)=1,f(2)=2。这个时候,你可以再拿 n=3,n=4 来验证一下,这个终止条件是否足够并且正确。

我们把递归终止条件和刚刚得到的递推公式放到一起就是这样的:

f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(n) = f(n-1)+f(n-2)

有了这个公式,我们转化成递归代码就简单多了。最终的递归代码是这样的:

int f(int n) { 
    if (n == 1) return 1; 
    if (n == 2) return 2; 
    return f(n-1) + f(n-2);
}

我总结一下,写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律,并且基于此写出递推公式,然后再推敲终止条件,最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

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